Gemiddelden, delers en veelvouden
Gemiddelden
Het rekenkundig gemiddelde van 104 en 234 is de oplossing van 104 +234 = r + r.
De r is dan 169. Ga dat zelf maar na.
Het meetkundig gemiddelde van 104 en 234 is de oplossing van 104 × 234 = m × m.
De m is dan 156. Ga dat zelf maar na.
Het harmonisch gemiddelde van 104 en 234 is de oplossing van
1/104 + 1/234 = 1/h + 1/h -----(*).
De h is dan 144. Ga dat zelf maar na.
Het voorbeeld is zo gekozen, dat alle getallen (voor de duidelijkheid en eenvoud) heeltallig zijn. In zeer veel gevallen is dat niet zo.
Verrassing
Bereken hr en 104 × 234. In beide gevallen krijg je 24.336.
In de volgende paragraaf zul je zien, dat het geen toeval is.
hr en m2
Als h het harmonisch gemiddelde van a en b is, dan is h = 2ab/(a+b).
Controleer dat aan de hand van de definitie van h. Zie (*)↑.
Op de basisschool leerden we al, dat r = (a+b)/2.
Alleen werd toen nog niet rekenkundig toegevoegd.
Vermenigvuldig nu h met r. Dan krijg je hr = ab.
Kennelijk is dit algemeen geldig.
Ook m2 = ab.
De grootste gemeenschappelijke deler = ggd
ggd is hier de grootste gemene (gemeenschappelijke) deler van a en b.
De a is dan te schrijven als ggd × p en de b als ggd × q.
De p en q hebben geen gemeenschappelijke delers. Ze zijn ‘onderling ondeelbaar’.
Het kleinste gemene veelvoud = kgv
Het kgv van a en b is ggd × p × q.
Vermenigvuldig dit links en rechts met de ggd:
ggd × kgv = (ggd × p) × (ggd × q) = a × b.
Samenvatting
Voor de telgetallen a en b geldt altijd:
hr = m2 = ggd × kgv = ab.
Volgorde op de getallenlijn
De volgorde van klein naar groot van deze getallen is
ggd a h m r b kgv.
Voor 104 en 234 ziet dat er zo uit:
26 104=4×26 144 156 169 234=9×26 936=4×9×262.